部分群がとっつきづらい？ - 極限籠包のスキーム

1 部分群の定義
2 まとめ
3 参考文献

　部分群の定義がいろいろあって分かりづらかったのでまとめてみました。

部分群の定義

　赤雪江[1]では部分群はこのように定義される；

定義1
　 $G$ を群とする。部分集合 $H \subset G$ であって、 $G$ の演算によって群となる $H$ を $G$ の部分群という。これを $H \leq G$ と書く。

　定義1は少しとっつきづらい(と僕は最初感じた)。どうとっつきづらいかというと、群には単位元および逆元の一意性があるが、定義1により群となる $H$ のそれとは $G$ のそれと違うのだろうか？次の定義2および命題1はその答えを教えてくれる；

定義2
　 $G$ を群とする。部分集合 $H \subset G$ であって、次を満たすような $H$ を $G$ の部分群という；
(i) $e_G \in H$
(ii) $a,b \in H$ ならば $a *_G b \in H$
(iii) $\forall a \in H$ に対して $a^{-1}_G \in H$ が存在する

これを部分群の定義としている文献も多く見かける。注意として、(i) $e_G \in H$ と(iii)の $a \in H$ の逆元は、 $G$ でのそれと一致している。

命題1
　定義1と定義2とは同値である。

証明）

まず、 $G$ は群であるから、 $G$ は空でない集合で二項演算 $G \times G \rightarrow G$ が定義されていて
(p0) $\forall a,b \in G, a *_G b \in G$
(p1) $\forall a,b,c \in G, (a *_G b)*_G c=a *_G (b*_G c)$
(p2) $\exists e_G \in G, \forall a \in G, e_G *_G a=a *_G e_G=a$
(p3) $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a^{-1} *_G a=a *_G a^{-1}=e$
を満たしている。

(定義1 $\Rightarrow$ 定義2)
　仮定より $H$ は群となるから単位元 $e_H \in H$ が存在する。これは $e_G \in G$ と一致するだろうか？
$H$ は $G$ の部分集合であるから $e_H \in G$ の元でもあり、 $G$ 上の演算によって $H$ が群をなすから① $e_H*_G e_H=e_H$ が言える。 $*_G$ で $H$ が群をなすから $e_H \in H$ は $\forall a \in H$ に対して $e *_G a=a *_G e=a$ を満たす。
(p3)より $e_H \in G$ に対して $e_H^{-1} \in G$ が存在して② $e_H^{-1} *_G e_H=e_H *_G e_H^{-1}=e_G$ を満たす。②より①に左から $e_H^{-1}$ をかけて、 $e_H^{-1}*_G (e_H*_G e_H)=(e_H^{-1}*_G e_H)*_G e_H=e_H^{-1}*_G e_H$ すなわち $e_G *_G e_H=e_G$ 。左辺は(p2)より $e_H$ と等しいから $e_H=e_G$ となる。
よって、(i) $e_G \in H$ が成り立つ。
　ところで「 $G$ の演算 $*_G$ によって $H$ が群をなす」というのが仮定であった。例えば、 $a,b \in \mathbb{N}$ に対して $a<b$ ならば $a-b<0$ で $a-b \notin \mathbb{N}$ という閉じていない例はそもそも考えないのである。仮定によって「そもそも定義されている」という意味で当たり前に、(ii) $a,b \in H$ ならば $a *_G b \in H$ は成り立つ。
　そして、逆元についても $H$ は群と仮定しているから存在性は担保されている。重要なのはそれが $G$ でのそれと一致していることだ。これは(p0)-(p3)により確認できる；
$a^{-1}_H \overset{(p2)}{=} a^{-1}_H *_G e_G \overset{(p3)}{=} a^{-1}_H *_G (a *_G a^{-1}_G) \overset{(p1)}{=} (a^{-1}_H *_G a )*_G a^{-1}_G \overset{(p3)}{=} e_G *_G a^{-1}_G \overset{(p2)}{=} a^{-1}_G$
$a \in H$ は任意だから $a^{-1}_H= a^{-1}_G$ を得る。よって、(iii) $\forall a \in H$ に対して $a^{-1}_G \in H$ が存在する。■

(定義2 $\Rightarrow$ 定義1)
　逆に、 $H \subset G$ が(i)-(iii)を満たすとしよう。 $H$ が $G$ 上の演算で群をなすことを示せば良い。
　まず、(i) $e_G \in H$ より $H$ は空集合でない。これは $H$ が群であるための条件としては最低限のものである。(ii) $a,b \in H$ ならば $a *_G b \in H$ より、それを $H \times H$ に制限した二項演算 $*_H:H \times H \rightarrow H$ を定める(演算規則はそのままである)。
　 $G$ での単位元 $e_G \in G$ について、 $\forall a \in G$ に対して $e_G *_G a=a *_G e_G=a$ を満たすから、特に $H$ は $G$ の部分集合ゆえ $\forall a \in H$ についても $e_G *_H a=a *_H e_G=a$ が成り立ち、(i) $e_G \in H$ は $H$ でも単位元である。
　また、 $G$ は群であり結合法則(p1)を満たすから、その演算を制限していて演算規則を継承している $H$ でも結合法則が成り立つ。
　そして、(iii) $\forall a \in H$ に対して $a^{-1}_G \in H$ が存在するから、 $\forall a \in H$ に対して $G$ の演算により $a^{-1}_G *_G a=a *_G a^{-1}_G=e_G \in H$ ゆえ、演算規則がそのままであれば、 $a^{-1}_G$ は $H$ においても逆元である。
　以上より、 $H$ は $G$ の演算によって群になる。■

　定義2は、それと同値な定義によって簡単にできる；

定義3
　 $G$ を群とする。 $G$ の空でない部分集合 $H \subset G$ であって、次を満たすような $H$ を $G$ の部分群という；
(i) $a,b \in H$ ならば $a *_G b \in H$
(ii) $\forall a \in H$ に対して $a^{-1}_G \in H$ が存在する。

$H$ が空集合でないことを仮定する代わりに、単位元の存在性を課さないというものである。

命題2
　定義2と定義3とは同値である。

証明）
(定義2 $\Rightarrow$ 定義3)
　定義2において(i) $e_G \in H$ ゆえ、集合 $H$ が空集合でないことは満たされている。その上で(ii)(iii)を仮定すれば定義3に一致する。■

(定義3 $\Rightarrow$ 定義2)
　 $H$ が空集合でなければ、ある元 $a\in H$ が存在する。定義3において、(ii)より $a \in H$ に対して $a^{-1}_G \in H$ が存在して、 $a^{-1}_G *_G a=a *_ G a^{-1}_G=e_G$ となる。(i)により $H$ は $G$ の演算によって閉じているから $e_G \in H$ が得られる。よって、 $H$ が空集合でなければ、(i)(ii)の仮定により定義2と一致する。■

　実は、より簡単な部分群の判定としての定義がある。

定義4
　 $G$ を群とする。 $G$ の空でない部分集合 $H \subset G$ であって、
$\forall a, b \in H, a*_G b^{-1}_G \in H$

を満たすような $H$ を $G$ の部分群という。

命題3
　定義3と定義4とは同値である。

証明）
(定義3 $\Rightarrow$ 定義4)
　定義3(ii)より、 $\forall b \in H$ に対して $b^{-1}_G \in H$ が存在する。次に、(i)より $\forall a,b \in H$ に対して $a*_G b \in H$ が存在する。以上より、 $\forall a,b \in H$ に対して $b^{-1}_G \in H$ が存在して、 $b\in H$ は任意だから $a*_G b^{-1} \in H$ が成り立つ。■

(定義4 $\Rightarrow$ 定義3)
　まず、 $H$ は空集合でないからある $a \in H$ が存在する。仮定より $a \in H$ に対して $a *_G a^{-1}_G \in H$ が存在する。群 $G$ の演算に従うと、これは単位元 $e_G$ に等しく $e_G \in H$ 。また、 $a,b \in H$ は任意だから $a=e_G$ とおくと $e_G *_G b^{-1}_G = b^{-1}_G \in H$ となって、 $\forall a \in H$ に対して $a^{-1}_G \in H$ が存在する。以上から、 $\forall a,b \in H$ に対して $b^{-1}_G \in H$ が存在して、 $b\in H$ は任意だから $a*_G (b^{-1})^{-1}=a*_G b \in H$ が成り立つ。■

まとめ

　命題1–命題3をまとめると、定義1–定義4は同値である；

定理：部分群
　群 $G$ とその部分集合 $H$ に対して、次は同値である。
(1) $H \leq G$ ( $H$ が $G$ 上の二項演算によって群となる)
(2)「 $e_G \in H$ かつ、 $a,b \in H$ ならば $a *_G b \in H$ かつ、 $\forall a \in H$ に対して $a^{-1}_G \in H$ が存在する」が成り立つ
(3)「 $H \neq \emptyset$ かつ、 $a,b \in H$ ならば $a *_G b \in H$ かつ、 $\forall a \in H$ に対して $a^{-1}_G \in H$ が存在する」が成り立つ
(4)「 $H \neq \emptyset$ かつ、 $\forall a, b \in H$ に対して $a*_G b^{-1}_G \in H$ が存在する」が成り立つ

　実際に群 $G$ の部分集合 $H$ が部分群であることを判定するためには(4)を用いるのが便利であろう。しかし、部分群の理解という観点から(1) $\Leftrightarrow$ (2)を示すことは重要であると考えられる。実感として、これを示す前と後とでは(1)に対する理解度が格段に違ってくる。

参考文献

[1]雪江明彦、代数学１群論入門 [第２版]、日本評論社、2023、31-32
[2]永井保成、代数学入門群・環・体の基礎とガロワ理論、森北出版、2024、7-8,160
[3]加塩朋和、代数学１、2024、12-13