写像の諸定義 - 極限籠包のスキーム

本記事は、素朴集合論における集合間の写像のいくつかの定義のメモです。

定義A．写像

　 $X$ , $Y$ を集合とする。 $f$ が $X$ から $Y$ への写像であるとは

任意の $x \in X$ に対して、ただ一つの $f(x) \in Y$ が定まっている

という対応のことをいう。これを
$f \colon X \rightarrow Y$

と書き、 $X$ を写像 $f$ の定義域、 $Y$ を写像 $f$ の値域という。

　これは写像の最もやさしい定義で、一方の集合の任意の元に対してもう一方の集合の元が”一意的に”対応していれば、その対応関係を写像と呼ぶのである（ただし、”ある $f(x_{1}),f(x_{2}) \in Y$ が存在して、 $x_{1}= x_{2}$ ならば $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ となる”ような $x_{1}, x_{2}\in X$ が存在していれば $f$ は写像ではない）。

定義B．写像

　 $X$ , $Y$ を集合とする。写像 $f \colon X \rightarrow Y$ とは、以下の条件を満足する直積 $X \times Y$ の部分集合のことである：

$\langle i \rangle$ 任意の $x \in X$ に対して $(x,y) \in f$ を満たす $y \in B$ が存在する。
$\langle ii \rangle$ 任意の $x \in X,y_{1},y_{2}\in Y$ に対して $(x,y_{1}),(x,y_{2})\in f$ が存在して、 $(x,y_{1})=(x,y_{2})$ ならば $y_{1}=y_{2}$ が成り立つ。

すなわち、任意の $x \in X$ に対して $(x,y) \in f$ を満たす $y \in B$ が存在して、このような $y$ は一意的である。

　これはお馴染みの関数 $y=f(x)$ の表す曲線と $x$ 軸、 $y$ 軸上の点との対応を用いて写像 $f$ を定義する方法だ：

状況設定として、座標平面 $\mathbb{R}^2$ において $\mathbb{R}$ の有界な部分集合 $X,Y$ (それぞれ $x$ 軸、 $y$ 軸とみなせる)に対し、長方形状の領域 $D=\{(x,y):x\in X,y\in Y\}$ を考える(以下、図を描いて考えてみよう)。ここで任意の $D$ の点（元）は直積 $X \times Y$ の元であり、逆も成り立つから両者は集合として等しい。まず、ある $y$ 軸上の点(0,y)が存在して、曲線 $y=f(x)$ 上のある点 $(x,y)$ から $x$ 軸上の点 $(x,0)$ への射影( $\#$ )を、すべての定義域の元に対して定義できるであろう(全射性)。かつ、別の射影：ある $x$ 軸上の点(x,0)が存在して、曲線 $y=f(x)$ 上のある点 $(x,y)$ から $y$ 軸上の点 $(0,y)$ への対応を定義したとき、この射影する前の $y=f(x)$ 上の $2$ 点が等しいならば、射影した先の $y$ 軸上の $2$ 点が等しい(単射性)。以上から、うーーんと。。。

少し疲れたので休憩します…(24/12/06, 09:55)

定義C．写像

　 $X,Y$ を集合とし、その直積 $X \times Y$ に対して部分集合 $\Gamma = \{(x,y) \colon x \in X, y \in Y\} \subset X \times Y$ を定める。
　また、対象 $X,Y,\Gamma$ と積 $X \times Y$ を持つ圏 $\mathscr{C}$ において、射 $f_{1} \colon \Gamma \rightarrow X, f_{2} \colon \Gamma \rightarrow Y$ をそれぞれ $f_{1} (x,y)=x, f_{2} (x,y)=y$ で定める。
　このとき、 $\langle i \rangle f_{1}$ がエピックで、かつ $\langle ii \rangle f_{2}$ がモニック：

$\langle i \rangle$ 任意の射 $g,h\in \mathscr{C}$ が存在して $g\circ f_{1}=h\circ f_{1}$ ならば $g=h$
(ただし、 $\textrm{cod}(f_{1})=\textrm{dom}(g)=\textrm{dom}(h)$ )

$\langle ii \rangle$ 任意の射 $g,h\in \mathscr{C}$ が存在して $f_{2}\circ g=f_{2}\circ h$ ならば $g=h$
(ただし、 $\textrm{dom}(f_{2})=\textrm{cod}(g)=\textrm{cod}(h)$ )

（↑保留）